(F) 域公理: $\mathbb{R}$ 是一个域#

(F1) 加法结合律: $x+(y+z)=(x+y)+z$
(F2) 加法交换律: $x+y=y+x$
(F3) 加法单位元存在: $\exists 0\in \mathbb{R}$, s.t. $\forall x\in \mathbb{R},0+x=x$
(F4) 加法逆元存在: $\forall x\in\mathbb{R},\exists (-x)\in\mathbb{R}$, s.t. $x+(-x)=0$
(F5) 乘法结合律: $x\cdot (y \cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
(F6) 乘法交换律: $x\cdot y=y\cdot x$
(F7) 乘法单位元存在: $\exists 1\in\mathbb{R}$, s.t. $1\ne 0$ and $\forall x\in\mathbb{R},1\cdot x=x$
(F8) 乘法逆元存在: $\forall x\in\mathbb{R^{\times}},\exists x^{-1}\in\mathbb{R}$, s.t. $x\cdot x^{-1}=1$
(F9) 乘法分配律: $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

Remark1:
(F1)-(F4)成立, $(\mathbb{R},+)$ 为(交换)群
(F5)-(F9)成立, $(\mathbb{R}^{\times},\cdot)$ 为(交换)群
(F1)-(F7)+(F9)成立, $(\mathbb{R},+,\cdot)$ 为(交换)环
(F1)-(F9)成立, $(\mathbb{R},+,\cdot)$ 为域

Remark2:
(F4)中的加法逆元容易证得唯一性
(F8)中的乘法逆元容易证得唯一性
(F7)中的 $1\ne 0$ 说明了 $\mathbb{R}$ 中至少要有2个元素

Remark3:
Prove: $\forall x\in\mathbb{R},(-1)\cdot x=(-x)$
Hint: $(-1)\cdot x+x=(-1)\cdot x+1\cdot x$

(O) 序公理: $\mathbb{R}$ 是有序域#

(O1) 序的传递性: $x\le y,y\le z\Rightarrow x\le z$
(O2) 序可以决定元素: $x\le y,y\le x\Rightarrow x=y$
(O3) 全序关系: 任意两个 $\mathbb{R}$ 中元素均可比
(O4) 与加法相容: $x\le y\Rightarrow x+z\le y+z$
(O5) 与乘法相容: $x\ge 0,y\ge 0\Rightarrow xy\ge 0$

(A) $Achimedes$ 公理: $\mathbb{R}$ 是 Archimedes 有序域#

$\forall x>0,y$

(I) 区间套公理#